sábado, agosto 21, 2010

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Una probabilidad es una posibilidad hipotética para que a alguna cosa le ocurra un evento o no.
El estudio de las probabilidades centra su atención en los eventos regidos por el azar o por aquellos de carácter predecible pero no certero.

Existen dos grupos de posibilidades:

PROBABILIDAD MATEMÁTICA

Si un suceso puede ocurrir de una de n diferentes maneras, pero igualmente posibles, y si f de estas maneras se consideran favorables, en tanto que las otras d=n-f maneras se toman como desfavorables, entonces la probabilidad p de que ocurra un caso favorable en una prueba dado es p=f/n, y la probabilidad q en caso desfavorable es q=d/n, de donde p+q=1.

PROBABILIDAD EMPÍRICA

Si se ha observado que un suceso ocurre "a" vece en "n" pruebas, la relación p=a/n se define como la probabilidad empírica de que este suceso ocurra en una prueba futura. La confianza que se pueda tener en estas probabilidades depende en gran medida del numero de observaciones hechas, por ejemplo, las compañías de seguros de vida, basan sus primas en probabilidades empíricas, para lo cual utilizan una tabla de mortalidad basada en un número enorme de observaciones de muchos años.


Las probabilidades en general, se las puede indicar como una fracción 1/n (uno de tantos...); un número en la escala de sucesos 0-1 (0=imposible, 1=totalmente realizable), o como un porcentaje (%)

COMBINATORIA

x

COMBINATORIA

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las disposiciones de un conjunto de objetos, bajo dos criterios importantes:
  • Si importa o no el orden en que se dispongan los objetos.
  • Si los objetos pueden o no repetirse

Existen tipos de combinaciones de casos:
  • VARIACIÓN: Se llama variación a todo arreglo en el que importe el orden y no pueda haber repetición. Se simboliza nVk, que se lee: variaciones de n elementos tomados de k en k. Su fórmula es:
  • PERMUTACIÓN: Se llama permutación a toda ordenación de un conjunto de n elementos distintos. Se simboliza nP, que se lee: permutación de n elementos. Su formula es:
  • COMBINACIÓN: Se llama combinación a todo arreglo en el que no importe el orden, ni pueda haber repetición. Se simboliza nCk, que se lee: combinaciones de n elementos tomados de k en k. Su formula es:

EJERCICIOS
  • ¿De cuántas maneras 5 personas pueden sentarse en 5 sillas libres?. R/= 120 formas posibles
  • ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 10 libros en 12 espacios disponibles de un estante?. R/= 239.500.800 formas posibles
  • ¿Cuántos grupos de letras de tres elementos pueden formarse sin repetir letras, del conjunto {a,b,c,d}?. R/= 4combinaciones, ¿Cuáles son?

PRINCIPIO FUNDAMENTAL

Si un primer evento se puede presentar de "X" formas distintas y un segundo evento lo puede hacer de "Y" formas distintas, entonces la cantidad total de maneras diferentes como pueden presentarse los dos eventos simultáneamente es X*Y

Ejemplo

Si se lanzan simultáneamente al aire un dado y una moneda. ¿De cuántas maneras distintas pueden caer?
  • El dado puede caer de 6 formas distintas
  • La moneda puede caer de 2 formas diferentes
  • Existe entonces, 6*2=12 formas totales para que caigan ambos objetos

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

GRÁFICAS ESTADÍSTICAS

Para representar visualmente los datos obtenidos en el censo o muestreo, existen cuatro formas básicas de gráficas estadísticas:



HISTOGRAMAS

Los datos de la variable estadística se representan en el eje horizontal del plano cartesiano y sus frecuencias absolutas en el eje vertical. Luego se trazan columnas hasta los puntos del censo






PASTELES


Un círculo o cilindro se divide en sectores proporcionales a los datos del censo o muestreo. Los sectores se indican con su propio valor y/o con porcentaje (%)







DISPERSIÓN DE PUNTOS


Se grafican los puntos del censo como en el caso del histograma, y luego se traza la recta o curva que los contenga en si gran mayoría, interpolándolos a través de una función matemática apropiada.
Este método conlleva un estudio mucha más avanzado en las matemáticas y la estadística, y su uso es práctico cuando los puntos son muchísimos.





DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE DATOS

DATOS Y POBLACIONES

El dato es la unidad de información que se utiliza en la terminología estadística, los datos se refieren a los individuos que se van a describir. Estos individuos o sujetos del análisis pueden ser personas, animales o cosas, los datos se ordenan en una tabla de datos.

La lista siguiente representa el puntaje obtenido por 74 estudiantes (población) en un juego que consiste en responder correctamente el máximo número de preguntas de un total de diez y en donde cada una de ellas vale un punto.

2,3,6,7,8,3,8,9,7,8,8,9,3,5,3,5,0,3,7,5,6,6,5,6,7,6,5,5,5,6,7,8,5,5,6,5,6
6,7,8,9,4,5,6,6,7,7,8,4,8,4,3,4,4,5,5,6,6,7,4,4,5,8,9,10,3,4,6,5,7,3,4,6,5

Esta lista proporciona poca información. Es necesario organizar estos "datos" para que pueda expresar algún tipo de resultado. Un primer paso consiste en su agrupación de manera que se pueda simplificar la información, se realiza un conteo de los datos que son iguales calculando así la frecuencia absoluta y relativa, de esta manera se construye la siguiente tabla de datos:


Puntos Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa
0 1 0,0135
2 1 0,0135
3 8 0,1081
4 9 0,1216
5 16 0,2162
6 15 0,2027
7 10 0,1351
8 9 0,1216
9 4 0,054
10 1 0,0135


VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Y DISCRETAS

Una variable es cualquier característica que varía con los miembros de la población (puntaje obtenido en el juego), esto es, que puede tomar valores diferentes para los individuos de la población. Si la característica se puede medir y expresar por una cantidad numérica, es una variable cuantitativa. Cuando la variable toma los valores en un intervalo, la variable es continua, por ejemplo, el peso, la altura o el tiempo. Y cuando toma los valores en el conjunto de números naturales, la variable es discreta, por ejemplo, el numero de hermanos, goles, entre otros.

VARIABLES CUALITATIVAS

Hay características de interés que no pueden medirse ni expresarse numéricamente y sólo es posible clasificar a los individuos de la población en grupos o categorías. Por ejemplo, los datos sobre el sexo, el color de los ojos, la música preferida.

MEDIDAS DE POSICIÓN

Una breve descripción de la distribución de una variable debe incluir, su "forma" aproximada (mas o menos simétrica), algún número que indique su "centro" u otros que indiquen su "dispersión". Las principales medidas "centrales" de una variable cuantitativa se presentan a continuación, es importante señalar que la interpretación correcta de este tipo de medidas sólo puede hacerse en el contexto de los datos, es decir, el significado de estas medidas depende del significado de los datos.
  • LA MEDIA: Se obtiene sumando todos los datos y dividiendo por el número total de ellos. A partir de una tabla de frecuencias se puede simplificar un poco el proceso sumando los productos de cada dato por su frecuencia.
  • LA MEDIANA: De un conjunto de datos es un dato "central" de la distribución es un número que la divide en dos "mitades" exactamente iguales, para obtener la mediana de un conjunto formado por N datos, se ordenan los datos de menor a mayor; si N es impar, tomar como mediana el dato central, el que está en la posición (N+1)/2; si N es par tomar como mediana la media aritmética de los datos centrales, los que están en las posiciones N/2 y siguiente N/2+1
  • LA MODA: Es el dato más frecuente de la distribución de frecuencias, es una medida que tiene interés en los casos en que la característica de la población es precisamente la mayor ocurrencia de un determinado fenómeno

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de posición central de un conjunto de datos por sí solas pueden ser confusas, ya que valores extremos de la distribución pueden introducir variaciones que hagan poco representativo o incluso inválido el análisis de datos que se pretende realizar. La variación proporcionada por estas medidas se completa  al identificar las medidas de dispersión o variabilidad de los datos. Las medidas de dispersión son:
  • RANGO: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos, en el censo o muestreo.
  • DESVIACIÓN (D): La desviación de un dato X con respecto al promedio Xp, es la diferencia entre estos: D=(X-Xp). El signo se tiene en cuenta
  • DESVIACIÓN MEDIA (Dm): Es el promedio de las desviaciones (en su valor absoluto) de cada uno de los datos del censo o muestreo
  • VARIANZA: Es el promedio de los productos entre las Desviaciones al cuadrado y sus frecuencias absolutas, de cada uno de los datos del censo o muestreo.
  • DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.


PROBABILIDAD-ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD -ESTADÍSTICA


La estadística se puede definir como una ciencia que permite obtener información a partir del análisis de datos numéricos en forma comprensible y convincente. De manera general la Estadística es la ciencia que permite recoger, organizar, resumir y analizar datos con el fin de obtener conclusiones válidas y tomar decisiones informadas. Se pueden considerar tres aspectos distintos en el conocimiento estadístico:

  • ANÁLISIS DE DATOS: Determina la organización y la descripción de los datos experimentales que permitirán obtener informaciones útiles. Se incluyen aquí las distintas representaciones gráficas y numéricas. Se designa como estadística descriptiva, incluye la organización, resumen, expresión e interpretación de los datos.
  • OBTENCIÓN DE DATOS: Se consideran los distintos procedimientos de recogida u obtención de datos necesarios para la resolución de problemas concretos, por ejemplo, la selección de las muestras, y el diseño de los experimentos adecuados para ello.
  • ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Se refiere a los procedimientos de obtención de conclusiones válidas para universos más amplios que los analizados, esto es, la obtención de conclusiones mas allá de los datos y el análisis de sus condiciones de verosimilitud.

viernes, agosto 20, 2010

RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
A la casa que comparten cinco jóvenes ha llegado la factura de cobro del servicio de energía correspondiente al consumo del mes de septiembre. Entre la información que aparece en la factura se encuentra la siguiente: consumo promedio últimos seis meses en kWh 104 consumo en (kWh) 110 valor (/kWh) 175,0952 costo de consumo 19 260 menos subsidio -7 704valor neto por consumo 11 556
ajuste decena 4 total a paga r 11 560

1. Uno de los jóvenes ha decidido mostrar a sus compañeros la siguiente representación gráfica de la información proporcionada en la factura


Uno de los jóvenes, al analizar la gráfica, hace la observación de que no debe presentarse así, puesto que

A. en la gráfica se relaciona correctamente la información de la factura, sin embargo para facilitar la lectura sería más conveniente organizar las barras por tamaño
B. la gráfica está mal construida porque la barra que indica subsidio no debería corresponder a un valor negativo ya que es un ahorro y no un gasto
C. no es posible relacionar todos los datos de la factura en una gráfica como ésta, porque la escala numérica
no puede asociarse a pesos y kWh simultáneamente
D. no es posible que la gráfica sea correcta porque el total a pagar no puede ser menor que el costo del
consumo

2. Los jóvenes están preocupados porque el consumo promedio relacionado en la factura, aumentó en 6 kWh respecto al relacionado en el mes de agosto. Discuten porque según ellos deben pagar 36 kWh más que en el mes de agosto. Esto no debería ser razón de discusión pues

A. el aumento en el consumo realmente fue de 6 kWh respecto al mes de marzo
B. el dato proporcionado corresponde a un promedio y por tanto no es posible comparar el consumo de
septiembre con el de ninguno de los seis meses anteriores
C. el consumo sí aumentó en 36 kWh, pero respecto al consumo de abril y no al de agosto
D. el consumo sí aumentó en 36 kWh, pero respecto al consumo de marzo y no al de agosto

3. Una empresa ha hecho un estudio para determinar qué tan conocido es el producto que ofrece. Para este estudio realizaron encuestas dividiendo la población encuestada en tres grupos. Los resultados fueron los siguientes:



Según las expectativas de la empresa, se fijó que el producto permanecería en el mercado si el 60% de la población hace uso de él. A partir de los resultados del estudio es más probable que

A. el producto continúe en el mercado, porque en todos los grupos la cantidad de personas que no usan el
producto es menor que la cantidad de los que lo usan
B. el producto no continúe en el mercado, porque sólo 31 de cada 85 personas encuestadas usan el producto
C. el producto continúe en el mercado, porque sólo 6 de cada 85 personas encuestadas no conocen el
producto
D. el producto no continúe en el mercado, porque el porcentaje de encuestados en el grupo III que usa el
producto es aproximadamente el 2,3% de los encuestados





RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 A 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
El propietario de dos distribuidoras de café ha obtenido la mayor utilidad por las ventas de las marcas El Cafetal y Buen Aroma, por lo cual decidió realizar entre sus clientes el sorteo de dos camionetas el 31 de diciembre, una en cada distribuidora. Por la compra de 20 kilos de cualquiera de las dos marcas de café, cada cliente recibirá una boleta para participar en el sorteo.


Las siguientes gráficas representan las ventas de las dos marcas de café en las dos distribuidoras

4. De acuerdo con las ventas de café BUEN AROMA realizadas en las dos distribuidoras, el dueño puede decir que
A. las ventas durante los seis meses superaron los 100 000 kilos en las dos distribuidoras
B. entre agosto y octubre se vendió la misma cantidad de kilos de café en las dos distribuidoras
C. para la venta total de octubre, las ventas en la distribuidora 1 superan en un 20% a las ventas en la
distribuidora 2
D. las ventas de noviembre a diciembre en la distribuidora 2 disminuyeron un 25% respecto a las ventas en la
distribuidora 1 en ese mismo período


5. El propietario afirma en el informe final que en las distribuidoras 1 y 2 se obtuvo un promedio mensual de ventas de café de 20 167 kilos y 19 000 kilos respectivamente. Usted justificaría estos datos diciendo que

A. la distribuidora 1 vendió 121 000 kilos de café y la distribuidora 2 vendió 114 000 kilos, durante los seis
meses
B. el promedio mensual aproximado de ventas de café Buen Aroma en las dos distribuidoras fue 18 333
kilos, mientras que el promedio aproximado de venta de café El cafetal fue 20 833 kilos
C. el promedio mensual de ventas de la distribuidora 1 fue 10 500 kilos de café Buen Aroma y 9 667 kilos de El Cafetal, mientras que el promedio de venta de la distribuidora 2 fue 7 833 kilos de café Buen Aroma y
11 167 kilos de El cafetal
D. las dos distribuidoras alcanzaron ventas de 235 000 kilos de café de las dos marcas, durante los seis
meses

6. El administrador debe presentar al propietario de las distribuidoras, un informe en el cual aparezca una tabla con la información sobre las ventas de las dos marcas de café en las dos distribuidoras. ¿Cuál de las siguientes tablas considera usted debe aparecer en ese informe?




16. Un cliente se ha enterado que en cada distribuidora los números de las boletas entregadas serán registrados en el
computador, para seleccionar aleatoriamente el número ganador. El cliente, que ha recibido la misma cantidad de
boletas en las dos distribuidoras, desea saber en cual distribuidora tiene la opción de ganar la camioneta, usted le
diría que en
A. la distribuidora 1, porque entregó más boletas debido a que sus ventas fueron mayores a las obtenidas por
la distribuidora 2, durante los seis meses
B. la distribuidora 2, siempre y cuando ambas distribuidoras hayan entregado el máximo número de boletas
por sus ventas durante los seis meses
C. la distribuidora 1, siempre y cuando la cantidad de boletas entregadas allí sea menor que las entregadas en
la distribuidora 2
D. la distribuidora 2, porque al tener menores ventas respecto a la otra Distribuidora hay un menor número de
compradores y menor número de boletas entregadas

ejercicios de estadística, preguntas argumentativas y propositivas

RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Federico fue el ganador de $100.000 en una minilotería, él por un costo de $1.000 apostó a tres dígitos diferentes y ganó porque los dígitos que seleccionó coincidieron con los sorteados (no importaba el orden).

1. Federico desea apostar nuevamente utilizando únicamente el dinero que ganó. Si no puede apostar más de una vez a cada trío de dígitos, es correcto afirmar que si invierte los $100.000

A. incrementará sus ganancias.
B. existe una posibilidad entre seis de que pierda.
C. puede apostar a todas los tríos de dígitos posibles.
D. existen cinco posibilidades entre seis de que pierda.

2. Si Federico decide apostar los $100.000 en el chance y le pagan $500 por cada $1 apostado pero para ganar debe acertar en su orden los tres últimos dígitos de una lotería, es correcto afirmar que

A. si en el chance apuesta $100 a cada trío posible, gana $100.000.
B. en el chance para ganar $100.000 tiene que apostar mínimo $200.
C. si en la minilotería apuesta $50.000 es seguro que gana $100.000.
D. en la minilotería el número de posibles apuestas es menor que en el chance.

3. Si la minilotería modificará las reglas y para ganar se deben acertar cuatro dígitos diferentes en el orden en que salgan en el sorteo, es correcto afirmar que la posibilidad de

A. perder es 42 veces mayor.
B. perder es 10 veces mayor.
C. ganar se reduce a la cuarta parte.
D. ganar es igual con cualquiera de las dos reglas.
RESPONDA LAS PREGUNTAS DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En un triángulo ABC como el que muestra la figura, a, b y c corresponden a las longitudes de
sus lados.


Ejercicios de funciones


RESPONDA LAS PREGUNTAS DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
La persona encargada de controlar los vuelos de helicópteros desde una torre de control, usa gráficas en las que relaciona la velocidad y el tiempo de duración de los vuelos. En la siguiente gráfica se muestra la información correspondiente al vuelo de dos helicópteros que parten desde lugares diferentes:

1. Al estudiar la variación de velocidad del helicóptero I en el intervalo de tiempo   [0,  11/2], el  controlador encontrará que
A.  la variación promedio de velocidad fue de 90 Km/h, porque ésta es la diferencia entre las  velocidades final e inicial del helicóptero.
B.  la variación promedio de la velocidad  fue de 80 Km/h, porque ésta es la razón entre el  cambio de velocidad y el tiempo transcurrido.
C.  la variación promedio de la velocidad fue de 60 Km/h, porque ésta es la razón entre la diferencia de las velocidades final e inicial y el tiempo transcurrido.
D.  la variación promedio de la velocidad  fue de 120 Km/h, porque ésta es la diferencia entre los cambios de velocidad final o inicial.


El controlador de una torre cercana usa la información gráfica de los vuelos de los helicópteros I y II para dar una descripción del vuelo de otro helicóptero. La descripción que él hace es la siguiente: En el intervalo de tiempo [0,2] horas el helicóptero aumentó constantemente su velocidad, luego de esto y hasta las 3 horas estabilizó la velocidad de tal forma que ésta fue  8 / 7   de la del helicóptero II. Finalizó el recorrido disminuyendo la velocidad al doble del ritmo en que el helicóptero I lo hizo en las dos últimas horas de vuelo. De acuerdo con esto, la persona  que tomó nota de la descripción puede crear el gráfico

 TOMADO DE PRUEBA DE MATEMÁTICAS EXAMEN DEL ESTADO 2010 ICFES MEJOR SABER

miércoles, agosto 11, 2010

AREAS-PERÍMETROS




PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE


PRIMER EJERCICIO

Don Juan desea medir el perímetro de una extensión de tierra, pero decide medirla con sus pies. La forma de medir consiste en dar pasos de tal manera que la punta de un pie toque el talón del otro, así que parte del punto A bordeando la extensión en el sentido 1, pero cuando llega al punto B decide delegar a su hijo Carlitos de 8 años para que continúe con su labor. Carlitos cuenta pasos hasta el punto de salida de su padre (A)


1. De la manera que se midió cada parte del camino, ¿es posible obtener una medida del perímetro de dicha
extensión?

 A. Sí, se suman los pasos de Don Juan con los de Carlitos
 B. No, ya que ninguno recorrió el perímetro en su totalidad
 C. Sí, se establece la diferencia entre las medidas de los pies, ya que los pies de Don Juan no miden lo mismo  que los de su hijo
 D. Sí, pero como los tamaños de pies no son iguales, se debe encontrar la relación entre los tamaños y aplicarla a las distancias recorridas

2. Don Juan compra un nuevo terreno contiguo al suyo. Mide el perímetro del nuevo terreno con sus pies obteniendo la misma medida que la del anterior. Sobre las áreas de los terrenos se puede afirmar que:

  A. Los dos terrenos poseen la misma área
  B. El nuevo terreno puede tener un área distinta a la del antiguo terreno
 C. El perímetro no es suficiente para concluir algo sobre las áreas de los terrenos
 D. Para comprar un terreno de mayor área, este debe tener un perímetro mayor


SEGUNDO EJERCICIO

Entre la variedad de baldosas ofrecidas en un almacén se encuentran las descritas a continuación:


1. El vendedor del almacén afirma que en el día se recibió la misma cantidad de dinero por la venta de baldosas triado que por la venta de baldosas cuadu. Basándose en la afirmación del vendedor usted puede deducir que:

A. La cantidad de baldosas cuadu vendidas, fue el 1.6% de la cantidad de baldosas triado
B. Por cada 8 baldosas triado vendidas, se vendieron 5 baldosas cuadu
C. La cantidad de baldosas triado vendida fue 1.6 veces la cantidad de baldosas cuadu
D. El 50% del total de baldosas vendidas fue triado ya que se recibió la misma cantidad de dinero por su venta que por la venta de las baldosas cuadu

2. Un cliente se ha dirigido a la sección de quejas y reclamos del almacén asegurando que, de los 24 m2 que compró en baldosa cuadu, el 25% salió defectuosa y por tanto exige al almacén la devolución de $110.000 correspondientes al precio de las baldosas defectuosas. Usted no está de acuerdo con el cliente, pues:
A. No es posible que haya comprado 24 m2 en este tipo de baldosa porque ello implicaría que le vendieron partes de baldosas
B. La cantidad de dinero que exige como devolución sobrepasa el valor correspondiente al 25% de las baldosas compradas
C. La cantidad de dinero exigido como devolución es inferior al costo de 6m2 de baldosa cuadu
D. El precio de 6 baldosas cuadu no corresponde al exigido en devolución

3. Para incentivar la compra de baldosas cuadu, el dueño del almacén decide unificar el valor por centímetro cuadrado de baldosa triado y cuadu. El procedimiento que usted le sugeriría al dueño para encontrar valores adecuados a sus propósitos es:

A. Sumar y luego dividir entre 2 los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el área que cubre
B. Sumar y luego dividir entre 31 los precios de una baldosa triado y una cuadu
C. Sumar y luego dividir entre 2 los precios de una baldosa triado y una cuadu
D. Sumar los cocientes resultantes de la división entre el precio de cada baldosa y el doble del área cubierta
por ella


TERCER EJERCICIO

El siguiente dibujo representa el diseño de una piscina para niños que se quiere construir en un centro vacacional.


1. Para recubrir el interior de la piscina (paredes y piso) con una tela asfáltica, esto es impermeabilizar la piscina, el constructor pide 30 m2. Esta cantidad de material:

 A. no es suficiente porque faltaría aproximadamente 7 m2.
 B. es suficiente y sobrarían aproximadamente 22 m2.
 C. no es suficiente porque faltarían aproximadamente 14 m2.
 D. es suficiente y sobrarían aproximadamente 25 m2.

2. Un instructor de natación, sabe que por seguridad cada niño que ingrese a una piscina debe contar como mínimo con un espacio de 1 m3. Si a una clase que se va a dictar en la piscina, que se esta construyendo, llegan al mismo tiempo 30 niños, el instructor deberá trabajar máximo con:

 A. 10 niños al mismo tiempo, dentro de la piscina.
 B. 12 niños al mismo tiempo, dentro de la piscina.
 C. 15 niños al mismo tiempo, dentro de la piscina.

 D. 20 niños al mismo tiempo, dentro de la piscina.

CUARTO EJERCICIO

Se construyó un cubo formado por cubitos, cada uno de ellos con aristas de longitud una unidad, como se presenta en 
el dibujo.

1. Para fijar el cubo construido se coloca una cinta por todos sus bordes. La longitud de la cinta para lograr este fin debe ser

 A. 12 unidades que corresponden al número de aristas del cubo
 B. el producto entre 12 unidades y el número de cubitos que conforman el cubo
 C. 36 unidades, que corresponden a la longitud de las aristas del cubo
 D. las unidades de cinta con las cuales se cubren los bordes de 3 cubitos

2. Al quitar el cubito que aparece sombreado en el dibujo, el volumen de la figura obtenida disminuye una unidad de volumen, pero su superficie total no cambia. ¿Cómo obtener una figura cuyo volumen sea dos unidades menos que el del cubo, pero con la misma superficie total de éste?

 A. quitando un cubito interior y uno lateral que esté junto a él
 B. quitando 2 cubitos de la esquina
 C. quitando un cubito de la esquina y uno lateral que esté junto a él
 D. quitando 2 cubitos laterales

3. Al quitar los 6 cubitos interiores del cubo, ¿qué cambios se presentan en la figura obtenida en comparación al cubo inicial?

 A. la superficie y el volumen se mantienen iguales
 B. la superficie aumenta en 24 unidades cuadradas y el volumen disminuye
 C. el volumen disminuye en 6 unidades cúbicas y la superficie aumenta
 D. el volumen y la superficie disminuyen


Tomado de: Banco de preguntas de matemáticas. Icfes.

sábado, agosto 07, 2010

MUESTREO

MUESTREO

El  muestreo estadístico es la herramienta que la Matemática utiliza para el estudio de las características de una población a través de  una determinada parte de la misma.



La muestra de estudio debe ser lo mas pequeña posible ya que del hecho de que una muestra sea mas grande, no se desprende necesariamente que la información sea mas fiable. Además, la muestra elegida debe serlo por un proceso aleatorio para que sea lo más representativa posible.

TÉRMINOS USUALES EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO

q  Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio.
q  Muestra: parte de la población en la que miden las características estudiadas.
q  Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra.
q  Encuesta: proceso de obtener información de la muestra.

MÉTODOS DE MUESTREO

1.- Muestreo no probabilístico: No se usa el azar, sino el criterio del investigador.
2.- Muestreo probabilístico o aleatorio:
2.1.- Muestreo aleatorio simple: Se asigna un número a cada uno de los individuos de la población, y seguidamente se van eligiendo al azar los componentes de la muestra. La elección de un individuo no debe afectar a la del siguiente, por tanto debe reemplazarse el nº, una vez extraído.
2.2.- Muestreo sistemático: Se ordenan previamente los individuos de la población, después se elige uno al azar y a continuación, a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra.
2.3.- Muestreo estratificado: Se divide la población total en clases homogéneas (estratos). La muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada estrato.

Ejercicio: 
En un colegio hay 120 alumnos en octavo provenientes de 4 barrios o zonas diferentes:
Zona A: 20 alumnos
Zona B: 32 alumnos
Zona C: 60 alumnos
Zona D: 8 alumnos
Hay que elegir una muestra de 20 alumnos para hacerles una serie de preguntas.
Utiliza los tres métodos de muestreo aleatorio para escoger la muestra.

DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

Es evidente que los resultados obtenidos del estudio de una muestra no son del todo fiables, pero sí en buena medida. Los parámetros que obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y del riesgo que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.

DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES

Si una población tiene N elementos, el nº de muestras distintas de tamaño n que se pueden elegir es (N n).
Si pueden repetirse individuos, el número de muestras será igual a N^n .

Ejercicio

Calcular el nº de muestra de tamaño 21 que pueden elegirse en una población de 120 alumnos:
a)      sin reemplazamiento
b)      con reemplazamiento

Parámetros muestrales
Elegida una muestra, hallaremos en ella la media y la desviación típica S. Lo que tendremos que estudiar será la representatividad de estos parámetros muestrales con los parámetros reales de la población, es decir: la media poblacional m, y la desviación típica de la población s

Si en una población de N individuos tomamos todas las  muestras posibles de tamaño n, se puede demostrar que la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, esto es :


Sin embargo, no se cumple lo mismo para la desviación típica de las medias muestrales, sino que se verifica que, siendo n el tamaño de las muestras.



Tomado de: www.elalmanaque.com/.../Muestreo%20y%20Estimación%20estadística.doc